解透教材高中数学必修第一册北师大版
基本信息
编辑推荐
《解透教材》系列丛书以新《课程标准》为依据，以新高考为指导，以教材为载体，以“多角度解透教材，深广度直达高考”为编写理念，对教材进行批注式解读，并解透教材重点难点、剖析常考点与常考题型，搭建好教材与高考的桥梁。
本从书带教材原文，能当课本用，实现了教材、教辅的二合一。可帮助在校学生学好教材、学透教材，尤其是给课前预习、课后复习、假期补习的学生带来学习上的便利。
内容简介
本系列丛书多角度解透教材、深广度直达高考，一般设置4层解透、2层训练、1个章末提升。
4层解透：解透教材原文、解透重难疑点、解透常考题型、解透高考命题点。它批注式、多角度地解透教材、解透高考，能帮学生学透教材、高效备考，能对教学追根求源、服务点拨。
2层训练：讲解时精选好题，设对点练来举一反三；讲解后精选难题，设培优综合练来助学生培优。
1个章末提升：章末设“思想方法归纳”与“专题归纳总结”。思想方法归纳为学生解题总结方法规律、提炼技巧妙招；专题归纳总结本章重难疑点的解题方法，实现知识的升华和思维的突破。
目录
第一章 预备知识 1
§1 集 合/ 2
1.1 集合的概念与表示/ 2
1.2 集合的基本关系/ 9
1.3 集合的基本运算/ 14
§2 常用逻辑用语/ 22
2.1 必要条件与充分条件/ 22
2.2 全称量词与存在量词/ 30
§3 不等式/ 36
3.1 不等式的性质/ 36
3.2 基本不等式/ 42
§4 一元二次函数与一元二次不等式/ 50
4.1 一元二次函数/ 50
4.2 一元二次不等式及其解法/ 55
4.3 一元二次不等式的应用/ 55
专题 高考中的集合、常用逻辑用语、不等式问题/ 65
本章整合提升/ 68
第二章 函 数 73
§1 生活中的变量关系/ 74
§2 函 数/ 78
2.1 函数概念/ 78
2.2 函数的表示法/ 86
§3 函数的单调性和最值/ 94
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数/ 105
专题 高考中的函数及其性质问题/ 115
本章整合提升/ 117
第三章 指数运算与指数函数 122
§1 指数幂的拓展/ 123
§2 指数幂的运算性质/ 128
§3 指数函数/ 132
专题 高考中的指数与指数函数问题/ 145
本章整合提升/ 146
第四章 对数运算与对数函数 150
§1 对数的概念/ 151
§2 对数的运算/ 156
§3 对数函数/ 166
§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较/ 182
*§5 信息技术支持的函数研究/ 186
专题 高考中的对数与对数函数问题/ 188
本章整合提升/ 190
第五章 函数应用 195
§1 方程解的存在性及方程的近似解/ 196
§2 实际问题中的函数模型/ 209
专题 高考中的函数应用问题/ 220
本章整合提升/ 221
第六章 统 计 224
§1 获取数据的途径/ 225
§2 抽样的基本方法/ 232
§3 用样本估计总体分布/ 243
§4 用样本估计总体的数字特征/ 253
专题 高考中的统计问题/ 265
本章整合提升/ 268
第七章 概 率 272
§1 随机现象与随机事件/ 273
§2 古典概型/ 286
§3 频率与概率/ 301
§4 事件的独立性/ 307
专题 高考中的概率问题/ 314
本章整合提升/ 317
第八章 数学建模活动（一） 321
§1 走近数学建模/ 321
§2 数学建模的主要步骤/ 322
§3 数学建模活动的主要过程/ 323
本书习题答案 327
教材习题全解 364
第一章 预备知识
§1 集 合 2
1.1 集合的概念与表示 2
解透常考题型
题型1 集合中元素的特征的应用/ 6
题型2 元素与集合的关系/ 6
题型3 集合的表示方法/ 7
题型4 集合与方程的综合问题/ 7
题型5 与集合有关的新定义问题/ 7
题型6 易错易混问题/ 7
1 忽视集合中元素的互异性出错/ 7
2 忽视集合中的代表元素而出错/ 8
1.2 集合的基本关系 9
解透常考题型
题型1 集合间关系的判定/ 12
题型2 确定集合的子集、真子集/ 12
题型3 根据集合间的关系求参数的取值范围/ 12
题型4 易错易混问题——忽视空集是任何集合的子集而出错/ 13
★ 判断集合间关系的常用方法/ 12
1.3 集合的基本运算 14
解透常考题型
题型1 集合的基本运算/ 19
题型2 集合运算中的参数问题/ 19
题型3 补集思想的应用/ 20
题型4 易错易混问题/ 20
1 忽视集合的端点而出错/ 20
2 忽视全集的限定而出错/ 20
★ 用图示法解决集合的运算问题/ 19
★ 求集合运算中的参数的思路/ 20
§2 常用逻辑用语 22
2.1 必要条件与充分条件 22
解透常考题型
题型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断/ 27
题型2 充要条件的证明/ 27
题型3 充分、必要、充要条件关系的探究/ 28
题型4 应用充分、必要条件确定参数的取值范围/ 28
题型5 易错易混问题——忽视集合与充分、必要条件的关系而出错/ 28
★ 判断充分、必要条件常用的两种方法/ 27
★ 根据充分、必要条件求参数的取值范围的步骤/ 28
2.2 全称量词与存在量词 30
解透常考题型
题型1 全称量词命题与存在量词命题的真假判断/ 33
题型2 含有一个量词的命题的否定/ 34
题型3 与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题/ 34
题型4 易错易混问题——对含有量词的命题否定不完全/ 34
★ 利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧/ 34
§3 不等式 36
3.1 不等式的性质 36
解透常考题型
题型1 比较两个实数的大小/ 40
题型2 利用不等式的性质判断不等式的真假/ 40
题型3 利用不等式的性质证明不等式/ 40
题型4 利用不等式的性质求范围/ 40
题型5 易错易混问题——忽视不等式性质的条件而出错/ 41
3.2 基本不等式 42
解透常考题型
题型1 利用基本不等式求最值/ 46
题型2 利用基本不等式求参数/ 47
题型3 利用基本不等式解决实际问题/ 48
题型4 利用基本不等式证明不等式/ 48
题型5 易错易混问题——忽视基本不等式成立的条件而出错/ 48
★ 利用基本不等式求最值的方法/ 47
★ 用基本不等式解决实际问题的步骤/ 48
§4 一元二次函数与一元二次不等式 50
4.1 一元二次函数 50
解透常考题型
题型1 求一元二次函数的解析式/ 52
题型2 一元二次函数图象的应用/ 53
题型3 一元二次函数性质的应用/ 53
题型4 易错易混问题——忽视对解析式中系数的讨论出错/ 53
★ 利用待定系数法求一元二次函数解析式的常设形式/ 53
4.2 一元二次不等式及其解法 55
4.3 一元二次不等式的应用 55
解透常考题型
题型1 分类讨论解含有参数的一元二次不等式/ 60
题型2 三个“二次”的关系的应用/ 61
题型3 不等式恒成立问题/ 61
题型4 分式不等式或高次不等式的解法/ 62
题型5 一元二次不等式的实际应用/ 63
题型6 易错易混问题/ 63
1 解不等式时不能正确转化而出错/ 63
2 不能把恒成立问题正确转化而出错/ 64
★ 含有参数的一元二次不等式的解法/ 61
★ 数轴标根法/ 63
专题 高考中的集合、常用逻辑用语、不等式问题 65
解透高考题型
一 集合的表示与关系/ 65
二 集合的基本运算 / 66
三 充要条件的判定/ 66
四 量词与命题/ 66
五 一元二次不等式的解法/ 67
六 基本不等式及其应用/ 67
本章整合提升 68
思想方法归纳
一 数形结合思想/ 69
二 分类讨论思想/ 70
三 转化与化归思想/ 70
专题归纳总结
一 集合的基本概念、关系及运算/ 70
二 常用逻辑用语/ 71
三 不等式的性质与基本不等式的应用/ 71
四 一元二次函数与一元二次不等式的应用/ 72
第二章 函 数
§1 生活中的变量关系 74
解透常考题型
题型1 依赖关系与函数关系/ 77
题型2 分段函数的概念/ 77
§2 函 数 78
2.1 函数概念 78
解透常考题型
题型1 函数概念的理解/ 81
题型2 求函数值/ 81
题型3 函数的定义域问题/ 81
1 已知解析式求函数的定义域/ 81
2 求抽象函数或复合函数的定义域/ 82
3 给定函数的定义域求字母的取值/ 82
4 实际问题的定义域/ 83
题型4 求函数的值域/ 83
1 给定函数的解析式求函数的值域/ 83
2 已知函数的值域求字母的取值/ 84
题型5 易错易混问题/ 84
1 求函数定义域时非等价化简解析式致错/ 84
2 忽略定义中函数值y的唯一性而致误/ 84
3 忽略对系数分类讨论而致误/ 84
★ 求函数值域的常用方法/ 83
2.2 函数的表示法 86
解透常考题型
题型1 求函数的解析式/ 89
1 已知函数的类型求解析式/ 89
2 已知f（g（x））的解析式，求f（x）的解析式/ 89
3 已知中含有f（x），f或f（x），f（-x）形式的函数，求f（x）的解析式/ 89
4 求抽象函数的解析式/ 90
题型2 函数图象的问题/ 90
1 图象的识别/ 90
2 图象的画法/ 91
3 函数图象的应用/ 91
题型3 分段函数/ 92
1 与分段函数有关的求值或求参问题/ 92
2 分段函数与不等式的综合问题/ 92
题型4 易错易混问题/ 92
1 忽视函数的定义域/ 92
2 画函数图象时忽略等价变形/ 92
★ 已知f（g（x））＝h（x），求f（x）的两种方法/ 89
★ 作函数图象的基本方法/ 91
★ 函数图象的综合应用/ 92
§3 函数的单调性和最值 94
解透常考题型
题型1 函数单调性的判断/ 99
1 定义法判断函数的单调性/ 99
2 图象法判断函数的单调性/ 100
3 利用单调函数的运算性质判断函数的单调性/ 100
4 抽象函数的单调性/ 100
5 复合函数的单调性/ 101
题型2 函数单调性的应用/ 101
1 利用单调性比较大小、解不等式/ 101
2 利用函数的单调性求参数的取值范围/ 102
题型3 二次函数的最值问题/ 102
题型4 易错易混问题/ 103
1 混淆“单调区间”和“在区间上单调”两个概念/ 103
2 求函数的单调区间时忽略函数的定义域/ 103
★ 利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤/ 100
★ 复合函数y＝f（g（x））在（a，b）上的单调性与内、外层函数的单调性关系/ 101
★ 求二次函数最值的常见类型及解法/ 103
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 105
解透常考题型
题型1 函数奇偶性的判断/ 108
1 一般函数的奇偶性判断/ 108
2 分段函数的奇偶性判断/ 109
3 抽象函数的奇偶性判断/ 110
题型2 函数奇偶性的应用/ 110
1 利用奇偶性求参数的值/ 110
2 利用奇偶性求函数的值/ 111
3 利用奇偶性求函数的解析式/ 111
4 利用奇偶性比较大小或解抽象不等式/ 112
题型3 幂函数的定义、图象与性质/ 112
题型4 易错易混问题/ 113
1 判断奇偶性时忽略定义域致错/ 113
2 没有弄清分段函数的概念致错/ 113
3 判断奇偶性时忽略对参数的讨论致错/ 113
★ 判断函数奇偶性的常用方法/ 109
★ 判断分段函数奇偶性的方法/ 110
★ 已知函数的奇偶性求参数值的三种思路/ 111
★ 已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求其在整个定义域上的解析式的方法/ 111
★ 幂函数解析式的特点及幂函数的图象、性质/ 113
专题 高考中的函数及其性质问题 115
解透高考题型
一 函数的定义域与函数求值/ 115
二 函数的单调性/ 115
三 函数的奇偶性/ 116
本章整合提升 117
思想方法归纳
一 数形结合思想/ 118
二 分类讨论思想/ 118
三 函数与方程思想/ 119
四 化归与转化思想/ 119
专题归纳总结
一 特殊函数模型的应用/ 119
二 函数的基本性质的应用/ 121
三 函数与不等式的恒成立问题/ 121
第三章 指数运算与指数函数
§1 指数幂的拓展 123
解透常考题型
题型1 简单根式的运算/ 125
题型2 分数指数幂的计算/ 126
题型3 根式与分数指数幂的互化/ 126
题型4 易错易混问题——忽视算术平方根为正数而致误/ 127
★ 分数指数幂的计算方法/ 126
§2 指数幂的运算性质 128
解透常考题型
题型1 指数幂的运算/ 130
题型2 条件求值/ 130
题型3 易错易混问题——忽视偶次方根的取值范围而致误/ 131
§3 指数函数 132
解透常考题型
题型1 指数函数的概念/ 139
题型2 指数函数图象过定点问题/ 139
题型3 指数函数图象的识别与应用/ 139
题型4 指数函数的定义域、值域问题/ 141
题型5 指数函数单调性的简单应用/ 141
题型6 与指数函数有关的奇偶性问题/ 142
题型7 解指数方程或不等式/ 143
题型8 综合应用/ 143
题型9 易错易混问题——忽略对底数的讨论/ 143
★ 处理指数函数图象问题的策略/ 141
专题 高考中的指数与指数函数问题 145
解透高考题型
一 指数函数的图象和性质/ 145
二 指数方程或不等式/ 145
本章整合提升 146
思想方法归纳
一 数形结合思想/ 146
二 分类与整合思想/ 147
三 函数与方程思想/ 147
四 化归与转化思想/ 147
专题归纳总结
一 指数幂的运算/ 148
二 指数函数的图象及应用/ 148
三 指数函数的性质及其应用/ 149
第四章 对数运算与对数函数
§1 对数的概念 151
解透常考题型
题型1 指数式与对数式的互化/ 153
题型2 对数恒等式的应用/ 154
题型3 利用对数性质求值或范围/ 154
题型4 易错易混问题——忽视底数与真数的范围/ 155
§2 对数的运算 156
解透常考题型
题型1 利用对数的运算性质化简求值/ 162
题型2 条件求值或化简/ 162
题型3 对数运算性质综合应用技巧/ 163
题型4 利用换底公式化简求值/ 163
题型5 综合应用/ 164
题型6 易错易混问题——变形时忽视条件的等价性/ 164
★ 解决对数运算问题的常用方法/ 162
§3 对数函数 166
解透常考题型
题型1 对数函数的概念与反函数/ 173
题型2 对数（型）函数的定义域、值域问题 / 174
题型3 对数（型）函数图象/ 175
1 对数（型）函数图象的识别/ 175
2 对数（型）函数图象的应用/ 176
3 图象变换法与对数（型）函数有关的函数图象/ 176
题型4 对数（型）函数的单调性/ 177
1 比较对数值大小/ 177
2 对数不等式问题/ 177
3 对数型复合函数的单调性/ 178
题型5 对数（型）函数的奇偶性/ 179
题型6 对数（型）函数的综合应用/ 179
题型7 易错易混问题——忽视对数（型）函数的定义域致错/ 180
★ 判断一个函数是对数函数的方法/ 173
★ 求反函数的一般步骤/ 174
★ 对数（型）函数图象的画图方法/ 177
★ 比较两个对数式大小的常用方法/ 177
★ 常见的对数不等式的三种类型/ 178
★ 判断复合函数的单调性或求复合函数的单调区间 应遵循的步骤/ 178
§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 182
解透常考题型
题型1 比较函数增长的差异/ 183
题型2 几种函数增长模型的应用/ 184
题型3 易错易混问题——数形结合解题时忽略代数计算致误/ 184
*§5 信息技术支持的函数研究 186
专题 高考中的对数与对数函数问题 188
解透高考题型
一 对数的运算/ 188
二 对数的实际应用/ 188
三 对数函数的性质及应用/ 189
本章整合提升 190
思想方法归纳
一 分类与整合思想/ 191
二 数形结合思想/ 191
三 函数与方程思想/ 191
四 转化与化归思想/ 191
专题归纳总结
一 对数运算问题/ 192
二 比较大小/ 192
三 对数函数的图象问题/ 192
四 对数函数的性质综合问题/ 193
五 几种函数的增长趋势比较/ 194
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解 196
解透常考题型
题型1 求函数的零点/ 202
题型2 零点个数的判断/ 203
题型3 判断零点所在区间/ 204
题型4 根据函数零点（或方程的根）求参数的值或取值范围/ 204
题型5 一元二次方程根的分布 / 205
题型6 用二分法求方程的近似解（或函数零点的近似值）/ 206
题型7 易错易混问题/ 207
1 忽视函数类型讨论/ 207
2 忽视零点存在定理的条件/ 207
★ 函数y＝f（x）的零点个数的判断方法/ 204
★ 判断函数零点所在区间的方法/ 204
★ 已知函数有零点（方程有实根），求参数取值（范围）的常用方法/ 205
★ 求方程的近似解（或函数零点的近似值）的方法和步骤/ 206
§2 实际问题中的函数模型 209
解透常考题型
题型1 实际问题的函数刻画/ 214
题型2 一次函数或二次函数模型/ 214
题型3 分段函数模型/ 215
题型4 幂型函数模型/ 216
题型5 指数型函数模型/ 216
题型6 对数型函数模型/ 217
题型7 对勾函数模型/ 217
题型8 易错易混问题——对函数图象理解不到位而致错/ 218
★ 幂型函数模型的求解策略/ 216
专题 高考中的函数应用问题 220
解透高考题型
函数的零点问题/ 220
本章整合提升 221
思想方法归纳
一 函数与方程思想/ 221
二 数形结合思想/ 222
三 分类与整合思想/ 222
专题归纳总结
一 函数零点及其应用/ 222
二 数学建模思想的应用/ 223
第六章 统 计
§1 获取数据的途径 225
解透常考题型
题型1 直接获取与间接获取数据/ 229
题型2 普查与抽样调查/ 229
题型3 总体、个体、样本、样本容量/ 230
题型4 易错易混问题——对总体、个体、样本的理解不到位（不透彻）/ 230
§2 抽样的基本方法 232
解透常考题型
题型1 简单随机抽样/ 238
1 抽签法/ 238
2 随机数法/ 239
题型2 分层随机抽样/ 239
题型3 抽样方法的选择/ 240
题型4 易错易混问题——抽样时编号处理有误/ 241
§3 用样本估计总体分布 243
解透常考题型
题型1 频率分布的有关概念及应用/ 248
题型2 频率分布直方图的画法及其应用 / 248
题型3 易错易混问题——对频率分布直方图中纵轴的意义理解不清致误/ 250
§4 用样本估计总体的数字特征 253
解透常考题型
题型1 平均数、中位数、众数的求解及应用/ 261
题型2 平均数、方差、标准差的计算及综合应用/ 262
题型3 折线统计图中的数字特征/ 262
题型4 百分位数的计算及应用/ 263
题型5 易错易混问题——实际问题中忽视方差的应用而致误/ 263
专题 高考中的统计问题 265
解透高考题型
一 抽样方法/ 265
二 频率分布直方图与折线图/ 265
三 数字特征的计算及应用/ 267
本章整合提升 268
思想方法归纳
一 方程思想/ 269
二 函数思想/ 269
三 数形结合思想/ 269
专题归纳总结
一 抽样方法的选择和设计/ 270
二 用样本估计总体/ 270
第七章 概 率
§1 随机现象与随机事件 273
解透常考题型
题型1 随机事件的样本空间/ 282
题型2 随机事件的判断与运算/ 283
1 随机事件的概念/ 283
2 互斥事件与对立事件的判断/ 283
3 事件的运算/ 283
题型3 易错易混问题——忽视试验结果与顺序的相关性而致误/ 284
★ 互斥事件与对立事件的判断方法/ 283
§2 古典概型 286
解透常考题型
题型1 求样本点的个数/ 296
题型2 古典概型的判断/ 296
题型3 古典概型的计算/ 297
1 普通抽取和“无放回”抽取问题/ 297
2 “有放回”抽取问题/ 297
题型4 互斥、对立事件的概率/ 298
题型5 古典概型与统计的综合/ 298
题型6 易错易混问题/ 299
1 混淆“等可能”与“非等可能”而致错/ 299
2 忽略公式P（）＝1-P（A）（或P（A∪B）＝P（A）+P（B））的前提而致错/ 299
★ 求样本点个数的方法/ 296
§3 频率与概率 301
解透常考题型
题型1 概率的意义/ 303
题型2 用频率估计概率/ 304
题型3 生活中的公平性问题/ 304
题型4 易错易混问题——对频率与概率的概念理解不清致错/ 305
§4 事件的独立性 307
解透常考题型
题型1 事件相互独立的判断/ 310
题型2 互斥事件与相互独立事件的辨析/ 311
题型3 相互独立事件同时发生的概率/ 312
题型4 易错易混问题——混淆互斥事件和相互独立事件的概念而致误/ 312
★ 判断两事件相互独立的方法/ 311
★ 互斥事件与相互独立事件的辨析/ 311
★ 求相互独立事件同时发生的概率的方法/ 312
专题 高考中的概率问题 314
解透高考题型
一 古典概型的概率/ 314
二 古典概型与统计的综合/ 314
三 利用频率估计概率/ 315
四 互斥事件、对立事件及相互独立事件的概率/ 316
本章整合提升 317
思想方法归纳
一 补集思想/ 317
二 数形结合思想/ 317
三 方程思想/ 318
四 分类与整合思想/ 318
五 化归与转化思想/ 318
专题归纳总结
一 频率与概率/ 319
二 统计与概率/ 319
三 概率题的“一题多解”/ 319
四 概率决策中的数据处理/ 320
第八章 数学建模活动（一）
§1 走近数学建模 321
§2 数学建模的主要步骤 322
§3 数学建模活动的主要过程 323
主 编：薛金星
出 版 社：辽海出版社
本册主编：李可卿
字 数：850千字
版 次：2019年6月第1版
印 次：2021年5月第3次印刷
印 张：25
页 数：394页
开 本：大16开
纸 张：胶版纸
I S B N ：978-7-5451-5535-8-02
包 装：平装
定 价：65.8
